Chương 2: Không gian véctơ

Chương 2: Không gian véctơ

Vấn đề 1. Cấu trúc không gian vectơ.
Vấn đề 2. Các khái niệm cơ bản của không gian véctơ.
1 Phụ thuộc tuyến tính
2 Độc lập tuyến tính
3 Tổ hợp tuyến tính
4 Tập sinh
5 Cơ sở
6 Số chiều
7 Hạng của họ véctơ

Không gian véctơ
Không gian véctơ là một cấu trúc của đại số gồm: một tập hợp V khác rỗng phép toán cộng hai véctơ và phép toán nhân véctơ với một số thỏa bộ 10 tiên đề:
1/ ∀x, y ∈ V, x + y ∈ V;
2/ ∀x ∈ V, α ∈ K, α · x ∈ V;
3/ ∀x, y ∈ V, y + x = x + y;
4/ ∀x, y, z ∈ V, x +(y + z) =(x + y) + z;
5/ Trong V tồn tại véctơ được gọi là véctơ không, ký hiệu là 0 thoả
∀x ∈ V, x + 0 = x;
6/ ∀x ∈ V, ∃x 1 ∈ V thoả x + x 1 = 0. Véctơ x 1 được gọi là véctơ đối của véctơ x và được ký hiệu là −x.
7/ ∀x, y ∈ V, ∀α ∈ K, α(x + y) = αx + αy;
8/ ∀x ∈ V, ∀α, β ∈ K,(α + β)x = αx + βx;
9/ ∀x ∈ V, ∀α, β ∈ K, α(βx) =(αβ)x;
10/ ∀x ∈ V, 1 · x = x.

Ví dụ
Gọi R ² là tập hợp tất cả các véctơ trong mặt phẳng có điểm đầu là gốc O, tức là

Phép toán cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số thực là hai phép toán ta đã biếtở phổ thông.
Kiểm tra 10 tiên đề trong định nghĩa 3.1.1 đều thoả. Vậy R ² là không gian véctơ trên tập số thực hay không gian véctơ thực.
Lưuý: R ² không chứa tất cả các véctơ trong mặt phẳng. R ² chỉ chứa các véctơ có điểm đầu là gốc O. Lớp những véctơ bằng nhau(cùng hướng và cùng độ lớn) được chọn một véctơ có điểm xuất phát là gốc toạ độ.

Ví dụ Tương tự ta có không gian véctơ thực

Ví dụ
Cho tập hợp S 1 = { vector OM|M ∈ đường thẳng ∆ qua gốc O và các điểm O; M thuộc mặt phẳng với hệ trục Oxy. Phép toán cộng hai véctơ và nhân véctơ với một số đã biếtở phổ thông. Hỏi S 1 có là không gian véctơ hay không?

Phụ thuộc tuyến tính - độc lập tt - tổ hợp tt
Cho V là K − kgv và M = {v ₁ , v ₂ , ..., v _m } là một tập hợp con của V.
1/ Tập hợp con M được gọi là tập phụ thuộc tuyến tính(viết tắt là PTTT), nếu tồn tại m số thuộc K là α₁ , α₂ , ..., α_m KHÔNG ĐỒNG THỜI BẰNG 0 sao cho α₁v₁ + α₂v₂ + ... + α_mv_m = 0.

2/ Tập hợp con M được gọi là tập độc lập tuyến tính(viết tắt là ĐLTT), nếu M không phải là tập phụ thuộc tuyến tính.

3/ Véctơ v ∈ V được gọi là tổ hợp tuyến tính(viết tắt THTT) của tập hợp con M, nếu tồn tại bộ số α₁ , α₂ , ..., α_m tuỳý, sao cho v = α₁v₁ + α₂v₂ + ... + α_mv_m .

Ví dụ. Trong R ² , cho tập hợp con

, với A, B là hai điểm cho trước trong mp với hệ trục tọa độ Oxy. Tìm điều kiện cần và đủ để:
1/ M phụ thuộc tuyến tính.
2/ M độc lập tuyến tính.

Tập sinh - Cơ sở - Số chiều

4/ Tập hợp con M được gọi là tập sinh của không gian véctơ V, nếu mọi véctơ v ∈ V, thì v là tổ hợp tuyến tính của M.

Nếu M là tập sinh của V, thì ta nói M sinh ra V, hay V là không gian được sinh ra bởi M và ký hiệu V =< M >=< v ₁ , v ₂ , ..., v _m >.

5/ Tập hợp con M được gọi là cơ sở của không gian véctơ V, nếu M là tập sinh của V và M là tập độc lập tuyến tính.

6/ Nếu không gian véctơ V có một cơ sở chứa hữu hạn véctơ, thì V được gọi là không gian hữu hạn chiều và số véctơ trong cơ sở đó được gọi là số chiều của V và đươc ký hiệu là dim(V)

Ví dụ Trong R ² , cho tập hợp con M chứa hai véctơ OA; OB không cùng phương. Chứng tỏ M là tập sinh của R ²

Hạng của họ véctơ

Định nghĩa
Hạng của họ véctơ S là số véctơ ĐLTT tối đa trong họ S.

Ví dụ Trong không gian R 3 cho tập hợp con S = { vector OM|M ∈ đường thẳng(∆) qua gốc O }. Tìm hạng của họ véctơ S.

Tập hợp S có vô số véctơ có điểm xuất phát là gốc O và điểm cuối là điểm M tùyý trên đường thẳng(∆).
Hai véctơ tùy ý OA, OB của S cùng phương nên PTTT. Suy ra r(S) = 1.

Tài liệu toán

Toán cấp 2

Tài liệu toán 10

Tính toán ma trận