Chương 1: Ma trận, Định thức và Hệ phương trình tuyến tính
Vấn đề 1. Các phép biến đổi sơ cấp và vận dụng trong giải bài tập.
Vấn đề 2. Ứng dụng của chương 1: Mô hình Markov và mô hình Leslei.
Giải hệ phương trình
Hệ phương trình
Từ phương trình(1) có x = 1 − y + 2z = −2 + 3α.
Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào α. Nghiệm của hệ:(−2 + 3α; 3 − α; α).
Sử dụng ma trận
Xét ma trận mở rộng
là ma trận dạng bậc thang.
Ta giải ngược từ dưới lên: từ hàng 2 ta được: y + z = 3.
Đặt z = α. Suy ra y = 3 − α.
Từ hàng 1 của bậc thang: x + y − 2z = 1, suy ra x = 3α − 2.
Các phép biến đổi sơ cấp (bđsc)
là ma trận dạng bậc thang.Ta giải ngược từ dưới lên: từ hàng 2 ta được: y + z = 3.
Đặt z = α. Suy ra y = 3 − α.
Từ hàng 1 của bậc thang: x + y − 2z = 1, suy ra x = 3α − 2.
Định nghĩa
Ba phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận là:
Biến đổi loại 1: Nhân một hàng tùyý với một số khác 0: h i → αh i , α , 0;
Biến đổi loại 2: Cộng vào hàng i một hàng j khác đã được nhân với một số tùyý h i → h i + βh j , i , j;
Biến đổi loại 3: Đổi chỗ hai hàng tùyý h i ↔ h j , i , j.
Hoàn toàn tương tự, ta có ba phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận.
Lưu ý: Các phép biến đổi sơ cấp đối với cột không tươngứng với các phép biến đổi tương đương của hệ nên ta không thể dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với cột để giải hệ.
Ba phép biến đổi sơ cấp đối với hàng của ma trận là:
Biến đổi loại 1: Nhân một hàng tùyý với một số khác 0: h i → αh i , α , 0;
Biến đổi loại 2: Cộng vào hàng i một hàng j khác đã được nhân với một số tùyý h i → h i + βh j , i , j;
Biến đổi loại 3: Đổi chỗ hai hàng tùyý h i ↔ h j , i , j.
Hoàn toàn tương tự, ta có ba phép biến đổi sơ cấp đối với cột của ma trận.
Lưu ý: Các phép biến đổi sơ cấp đối với cột không tươngứng với các phép biến đổi tương đương của hệ nên ta không thể dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với cột để giải hệ.
Dùng bđsc để tìm hạng của ma trận
Định nghĩa
Cho A là một ma trận cỡ m × n. Giả sử ta dùng biến đổi sơ cấp đối với hàng(hoặc cột) đưa được A về dạng bậc thang. Khi đó hạng của ma trận A được ký hiệu là r(A) là số các hàng khác không của ma trận dạng bậc thang.
Cho A là một ma trận cỡ m × n. Giả sử ta dùng biến đổi sơ cấp đối với hàng(hoặc cột) đưa được A về dạng bậc thang. Khi đó hạng của ma trận A được ký hiệu là r(A) là số các hàng khác không của ma trận dạng bậc thang.
Để tìm hạng của ma trận A ta dùng các biến đổi sơ cấp đối với hàng hoặc cột đưa A về dạng bậc thang r(A) bằng số các hàng khác không của bậc thang.
Ví dụ Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng, đưa ma trận
về dạng bậc thang. Tính r(A).
Bước 1. Bắt đầu từ cột khác không đầu tiên tính từ trái là cột 1, chọn phần tử khác không đầu tiên tính từ trên xuống là số 1.
Bước 2. Sử dụng hai phép biến đổi sơ cấp để khử 3 và 5 trong cột 1:
Bước 2. Sử dụng hai phép biến đổi sơ cấp để khử 3 và 5 trong cột 1:
Che hàng 1 chứa phần tử đã chọn là 1. Ta có một ma trận con có 2 hàng
Ma trận này chưa phải là ma trận dạng bậc thang nên ta lặp lại 2 bước trên.
Ma trận này chưa phải là ma trận dạng bậc thang nên ta lặp lại 2 bước trên.Bước 1. Bắt đầu từ cột khác không đầu tiên tính từ trái là cột 2, chọn phần tử khác không đầu tiên tính từ trên xuống là số −1.
Bước 2. Sử dụng một phép biến
đổi sơ cấp để khử −2 của cột 2:
Ta được ma trận bậc thang và không cần lặp lại 2 bước trên. Suy ra r(A) = 2.
Bước 2. Sử dụng một phép biến
đổi sơ cấp để khử −2 của cột 2:
Ta được ma trận bậc thang và không cần lặp lại 2 bước trên. Suy ra r(A) = 2.Dùng bđsc để giải hệ phương trình tuyến tính
Phương pháp khử Gauss để giải hệ AX = b:
Bước 1. Viết ma trận mở rộng(A|b);
Bước 2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng để biến đổi về dạng bậc thang;
Bước 3. Giải ngược từ dưới lên. Từ hàng khác không cuối cùng của bậc thang, viết ra phương trình tươngứng. Nếu phương trình này có nhiều hơn mộtẩn, ta chọn mộtẩn và đặt cácẩn còn lại các tham số
α, β, · · · và biểu diễnẩn đã chọn theo các tham số. Tiếp tục suy ngược lên cho các hàng phía trên nó.
Bước 1. Viết ma trận mở rộng(A|b);
Bước 2. Dùng các phép biến đổi sơ cấp đối với hàng để biến đổi về dạng bậc thang;
Bước 3. Giải ngược từ dưới lên. Từ hàng khác không cuối cùng của bậc thang, viết ra phương trình tươngứng. Nếu phương trình này có nhiều hơn mộtẩn, ta chọn mộtẩn và đặt cácẩn còn lại các tham số
α, β, · · · và biểu diễnẩn đã chọn theo các tham số. Tiếp tục suy ngược lên cho các hàng phía trên nó.
Dùng bđsc để tính định thức
Nếu nhân một hàng với một số, thì định thức được nhân lên với số đó
Nếu cộng vào một hàng thứ i, một hàng khác đã được nhân với một số, thì định thức không thay đổi
Nếu đổi chỗ hai hàng của ma trận A thì định thức đổi dấu
Dùng các biến đổi sơ cấp đối với hàng hoặc cột để tính định thức
Nếu cộng vào một hàng thứ i, một hàng khác đã được nhân với một số, thì định thức không thay đổi
Nếu đổi chỗ hai hàng của ma trận A thì định thức đổi dấu
Dùng các biến đổi sơ cấp đối với hàng hoặc cột để tính định thức
Ví dụ Tính định thức của ma trận
Dùng bđsc để tìm ma trận nghịch đảo
Định nghĩa
Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch, nếu tồn tại ma trận vuông B thỏa
AB = BA = I. Khi đó B được gọi là nghịch đảo của A và được ký hiệu là A −1 .
Vậy AA −1 = A −1 A = I.
Ma trận vuông A được gọi là khả nghịch, nếu tồn tại ma trận vuông B thỏa
AB = BA = I. Khi đó B được gọi là nghịch đảo của A và được ký hiệu là A −1 .
Vậy AA −1 = A −1 A = I.
Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo
Ví dụ. Dùng biến đổi sơ cấp, tìm A-1(nếu có) của
Viết ma trận mở rộng
Mô hình Markov
Ví dụ Khảo sát sự chuyển động dân cư của một thành phố A sau thời gian người ta nhận thấy mỗi năm có khoảng 10% dân thành phố chuyển ra sốngở vùng ngoạiô và 5% dânở vùng ngoạiô chuyển vào thành phố. Giả sử năm 2020 dân sốở thành phố và ngoạiô tươngứng là 800000 và 300000. Ước lượng số dân của thành phố và vùng ngoạiô vào năm 2025.
Mô hình Leslei
Ví dụ Độ tuổi lớn nhất của một con cái của một loài động vật là 15 tuổi.
Người ta chia con cái thành 3 lớp tuổi với thời lượng bằng nhau là 5 năm: lớp thứ nhất I từ 1 đến 5 tuổi, lớp thứ hai II từ 6 đến 10 tuổi, lớp thứ III từ 11 đến 15 tuổi. Ở lớp tuổi thứ nhất I, con cái chưa sinh sản,ở lớp tuổi II mỗi con cái sinh trung bình 4 con cái khác(không kể con đực),ở lớp tuổi thứ III mỗi con cái sinh trung bình 3 con cái khác.
Khoảng 50 % con cái được sống sót từ lớp tuổi I sang lớp tuổi II và 25 % con cái được sống sót từ lớp tuổi II sang lớp tuổi III. Giả sử năm 2020ở mỗi lớp tuổi có 1000 con cái. Tính số lượng con cáiở mỗi lớp tuổi sau 20 năm.
Viết ma trận mở rộng
Ví dụ Khảo sát sự chuyển động dân cư của một thành phố A sau thời gian người ta nhận thấy mỗi năm có khoảng 10% dân thành phố chuyển ra sốngở vùng ngoạiô và 5% dânở vùng ngoạiô chuyển vào thành phố. Giả sử năm 2020 dân sốở thành phố và ngoạiô tươngứng là 800000 và 300000. Ước lượng số dân của thành phố và vùng ngoạiô vào năm 2025.
Ví dụ Độ tuổi lớn nhất của một con cái của một loài động vật là 15 tuổi.
Người ta chia con cái thành 3 lớp tuổi với thời lượng bằng nhau là 5 năm: lớp thứ nhất I từ 1 đến 5 tuổi, lớp thứ hai II từ 6 đến 10 tuổi, lớp thứ III từ 11 đến 15 tuổi. Ở lớp tuổi thứ nhất I, con cái chưa sinh sản,ở lớp tuổi II mỗi con cái sinh trung bình 4 con cái khác(không kể con đực),ở lớp tuổi thứ III mỗi con cái sinh trung bình 3 con cái khác.
Khoảng 50 % con cái được sống sót từ lớp tuổi I sang lớp tuổi II và 25 % con cái được sống sót từ lớp tuổi II sang lớp tuổi III. Giả sử năm 2020ở mỗi lớp tuổi có 1000 con cái. Tính số lượng con cáiở mỗi lớp tuổi sau 20 năm.
Năm 2020:
Năm 2025
Năm 2030(sau 10 năm):
Năm 2040(sau 20 năm):
Năm 2025
Năm 2030(sau 10 năm):Năm 2040(sau 20 năm):
