Đại Số

Danh sách tài liệu (Xem dạng ảnh)

Giới thiệu, nội dung môn học

CHƯƠNG 1 .............17 MỞ ĐẦU VỀ LÔGICH MỆNH ĐỀ, TẬP HỢP............17 ÁNH XẠ VÀ CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ ............17 1.1. SƠ LƯỢC VỀ LÔGICH MỆNH ĐỀ .........18 1.1.1. Mệnh đề...........18 1.1.2. Các phép liên kết lôgich mệnh đề.................18 1.1.3. Các tính chất.............19 1.2. TẬP HỢP ...............20 1.2.1. Khái niệm tập hợp .............20 1.2.2. Biểu diễn tập hợp ..............20 1.2.3. Các tập hợp số thƣờng gặp .........21 1.2.4. Tập con............22 1.2.5. Các phép toán trên các tập hợp............22 1.2.6. Lƣợng từ phổ biến và lƣợng từ tồn tại..........24 1.2.7. Phép hợp và giao suy rộng .........25 1.3. TÍCH DESCARTES VÀ QUAN HỆ .........25 1.3.1.Tích Descartes của các tập hợp ............25 1.3.2 Quan hệ hai ngôi* ..............26 1.3.3 Quan hệ tƣơng đƣơng*...............27 1.3.4. Quan hệ thứ tự*.................27 1.4. ÁNH XẠ ................29 1.4.1. Định nghĩa và ví dụ ...........29 1.4.2. Phân loại các ánh xạ ..........31 1.4.3. Ánh xạ ngƣợc của một song ánh .........33 1.4.4. Hợp của hai ánh xạ............34 1.4.5. Lực lƣợng của một tập hợp .................34 1.5. SƠ LƯỢC VỀ PHÉP ĐẾM, GIẢI TÍCH TỔ HỢP- NHỊ THỨC NEWTON* .........35 1.5.1. Sơ lƣợc về phép đếm.........35 1.5.2. Hoán vị, phép thế ..............36 1.5.3. Chỉnh hợp.................37 1.5.4. Tổ hợp .............38 1.5.5. Nhị thức Newton ...............40 1.6. CÁC CẤU TRÚC ĐẠI SỐ* .............41 1.6.1. Luật hợp thành trong .........41 1.6.2. Nhóm...............42 1.6.3. Vành ................43 1.6.4. Trƣờng.............45 1.7. ĐẠI SỐ BOOLE ............45 1.7.1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của đại số Boole ..............45 1.7.2. Công thức Boole, hàm Boole và nguyên lý đối ngẫu ..............47 1.7.3. Phƣơng pháp xây dựng hàm Boole trong B2 có giá trị thỏa mãn điều kiện cho trƣớc..........49 1.7.4. Ứng dụng đại số Boole vào mạng chuyển mạch(switching networks) ...............50 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 ...........53 CHƯƠNG 2 .............59 KHÔNG GIAN VÉC TƠ ...........59 2.1. KHÁI NIỆM KHÔNG GIAN VÉC TƠ ..............60 2.1.1. Định nghĩavà các ví dụ ...............60 2.1.2. Tính chất..........61 2.2. KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON .........62 2.2.1. Định nghĩa và ví dụ ...........62 2.2.2. Không gian con sinh bởi một họ véc tơ.................63 2.2.3. Tổng của một họ không gian véc tơ con................65 2.3. ĐỘC LẬP TUYẾN TÍNH, PHỤ THUỘC TUYẾN TÍNH.............66 2.4. HẠNG CỦA MỘT HỆ HỮU HẠN CÁC VÉC TƠ ..............68 2.4.1. Hệ con độc lập tuyến tính tối đại.........68 2.4.2. Hạng của một hệ hữu hạn các véc tơ ............69 2.5. CƠ SỞ, SỐ CHIỀU CỦA KHÔNG GIAN VÉC TƠ ............70 BÀI TẬP CHƯƠNG 2 ...........74 CHƯƠNG 3..............80 MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC.............80 3.1. KHÁI NIỆM MA TRẬN.........81 3.2. CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN.........82 3.2.1. Phép cộng ma trận .............82 3.2.2. Phép nhân một số với ma trận .............82 3.2.3. Phép nhân ma trận .............84 3.2.4. Đa thức ma trận .................86 3.2.5. Ma trận chuyển vị..............86 3.3. MA TRẬN CỦA MỘT HỆ VÉC TƠ.........87 3.3.1. Định nghĩa ma trận của một hệ véc tơ ..........87 3.3.2. Ma trận chuyển cơ sở .................88 3.4. HẠNG CỦA MA TRẬN..........89 3.4.1. Định nghĩa và tìm hạng của ma trận bằng phép biến đổi tƣơng đƣơng ..............89 3.4.2. Các ma trận tƣơng ứng với các phép biến đổi sơ cấp ..............90 3.5. KHÁI NIỆM ĐỊNH THỨC...............92 3.5.1. Hoán vị và phép thế...........92 3.5.2. Định nghĩa định thức .........94 3.5.3. Các tính chất cơ bản của định thức...............98 3.6. CÁC CÁCH TÍNH ĐỊNH THỨC ............101 3.6.1. Khai triển theo hàng, theo cột............101 3.6.2. Định lý khai triển Laplace (theo k hàng k cột)..............103 3.7. ỨNG DỤNG ĐỊNH THỨC ĐỂ TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO...............107 3.7.1. Định nghĩa ma trận nghịch đảo..........107 3.7.2. Điều kiện cần và đủ để tồn tại ma trận nghịch đảo................107 3.7.3. Tìm ma trận nghịch đảo theo phƣơng pháp Gauss-Jordan .............109 3.8. SỬ DỤNG ĐỊNH THỨC TÌM HẠNG CỦA MA TRẬN............110 BÀI TẬP CHƯƠNG 3 .........113 CHƯƠNG 4............122 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH................122 4.1. KHÁI NIỆM HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH..........123 4.1.1. Dạng tổng quát của hệ phƣơng trình tuyến tính ...........124 4.1.2. Dạng ma trận của hệ phƣơng trình tuyến tính ..............124 4.1.3. Dạng véc tơ của hệ phƣơng trình tuyến tính.................125 4.2. ĐỊNH LÝ TỒN TẠI NGHIỆM................125 4.3. PHƯƠNG PHÁP CRAMER ...........126 4.3.1. Hệ Cramer và cách giải ............126 4.3.2. Giải hệ phƣơng trình tuyến tính trƣờng hợp tổng quát ..........127 4.4. PHƯƠNG PHÁP MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO...........128 4.5. GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHỬ GAUSS ...........129 4.6. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT..............132 BÀI TẬP CHƯƠNG 4 .........136 CHƯƠNG 5 ...........140 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH .........140 5.1. KHÁI NIỆM ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH ............141 5.1.1. Định nghĩa và ví dụ .........141 5.1.2. Các tính chất...........142 5.1.3. Các phép toán của các ánh xạ tuyến tính.............143 5.2. NHÂN VÀ ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH ..............145 5.3. TOÀN CẤU, ĐƠN CẤU, ĐẲNG CẤU ...........147 5.3.1. Toàn cấu.................147 5.3.2. Đơn cấu .........148 5.3.3. Đẳng cấu.................149 5.4. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN .................150 5.4.1. Ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính ...........150 5.4.2. Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong các cơ sở khác nhau ..............155 5.4.3. Biểu thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính ...............158 5.4.4. Ánh xạ tuyến tính và hệ phƣơng trình tuyến tính .........158 5.5. CHÉO HÓA MA TRẬN .................161 5.5.1. Không gian con bất biến...........161 5.5.2. Véc tơ riêng, giá trị riêng .........161 5.5.3. Đa thức đặc trƣng ............163 5.5.4. Tự đồng cấu chéo hoá đƣợc ..............166 5.5.5. Thuật toán chéo hoá .................167 BÀI TẬP CHƯƠNG 5 .........172 CHƯƠNG 6 ...........180 KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE VÀ DẠNG TOÀN PHƯƠNG ..............180 6.1. DẠNG SONG TUYẾN TÍNH .................181 6.1.1. Định nghĩa dạng song tuyến tính................181 6.1.2. Ma trận và biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính ..........182 6.1.3. Biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính trong các cơ sở khác nhau ............183 6.2. DẠNG TOÀN PHƯƠNG ...............184 6.2.1. Định nghĩa dạng toàn phƣơng ...........184 6.2.2. Dạng cực của dạng toàn phƣơng ................185 6.2.3. Ma trận và biểu thức tọa độ của dạng toàn phƣơng...............185 6.2.4. Biểu thức tọa độ dạng chính tắc của một dạng toàn phƣơng..........186 6.2.5. Đƣa về dạng chính tắc theo phƣơng pháp Lagrange .............186 6.2.6. Đƣa về dạng chính tắc theo phƣơng pháp Jacobi .........189 6.2.7. Luật quán tính.........192 6.3. TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ KHÔNG GIAN VÉC TƠ EUCLIDE .............195 6.3.1. Định nghĩa và tính chất của tích vô hƣớng..........195 6.3.2. Trực giao - trực chuẩn hoá Gram-Shmidt............197 6.3.3. Cơ sở trực chuẩn..............199 6.3.4. Không gian con trực giao, phần bù trực giao ...............200 6.4. MA TRẬN TRỰC GIAO VÀ ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH TRỰC GIAO .................202 6.4.1. Ma trận trực giao .............202 6.4.2. Ánh xạ tuyến tính trực giao* .............203 6.4.3. Ma trận của tự đẳng cấu trực giao* ............204 6.5. CHÉO HÓA TRỰC GIAO, TỰ ĐỒNG CẤU ĐỐI XỨNG.........204 6.5.1. Bài toán chéo hoá trực giao ...............204 6.5.2. Tự đồng cấu đối xứng...............205 6.5.3. Ma trận của một tự đồng cấu đối xứng trong một cơ sở trực chuẩn .................205 6.5.4. Thuật toán chéo hoá trực giao ...........207 6.5.5. Đƣa biểu thức tọa độ của dạng toàn phƣơng về dạng chính tắc bằng chéo hoá trực giao ...........208 6.6. ĐƯỜNG BẬC 2 TRONG MẶT PHẲNG VÀ MẶT BẬC 2 TRONG KHÔNG GIAN* .........209 6.6.1. Hệ tọa độ trực chuẩn trong mặt phẳng và các đƣờng bậc 2 ............209 6.6.2. Hệ tọa độ trực chuẩn trong không gian và các mặt bậc 2 ...............213 BÀI TẬP CHƯƠNG 6 .........220 HƯỚNG DẪN BÀI TẬP .........227 CHƯƠNG 1.................227 CHƯƠNG 2.................231 CHƯƠNG 3.................234 CHƯƠNG 4.................244 CHƯƠNG 5.................247 CHƯƠNG 6.................257
Môn học